(Part 5) DOMAIN RANGE FUNGSI AKAR FUNGSI DAN PEMODELANNYA MATEMATIKA TINGKAT LANJUT KELAS 11

di video kali ini kita akan belajar

tentang fungsi akar dari buku paket

halaman 284 sampai dengan

289 ya Nah untuk memahami konsep fungsi

akar perhatikanlah gambar segitiga

siku-siku berikut ini ini gambarnya

gambar tersebut adalah gambar segitiga

siku-siku dengan Sisi miringnya 13

m kemudian Sisi penyikunya = V dan H

bila nilai H diketahui nilai V dapat

kita hitung sebagai berikut ya jika H =

1 maka V = √13^ -1² Ini adalah eh

teorema Pythagoras ya dek ya nanti hasil

akhirnya adalah

[Musik]

√18 kemudian jika H = 2 maka V = √13² -

2² =

√15 jadi secara umum jika h = x maka V

itu akan sama dengan √13² - x² =

√19 -

x² nah apabila V ditulis sebagai fungsi

f terhadap X atau V = FX diperoleh FX

itu sama dengan √19

- x^ yang ini tadi ya Nah fungsi f

tersebut merupakan contoh fungsi akar

jadi secara umum fungsi akar dapat kita

sajikan atau dapat kita definisikan

sebagai berikut ya di sini kita punya

definisi

5.7 jika gx adalah suatu fungsi dan n

adalah bilangan bulat lebih dari 1 ini

syaratnya ya maka FX =

p n dari gx itu merupakan fungsi akar

jadi istilahnya ini adalah bentuk umum

dari fungsi akar ya catatan pada

pembahasan fungsi akar ini ruang lingkup

bilangan yang kita bahas itu adalah

bilangan riil berarti tidak termasuk

bilangan imajiner kemudian Bagaimana

cara menentukan daerah asal ee dari

sebuah fungsi akar untuk menjawab

pertanyaan ini lakukan kegiatan

eksplorasi berikut menentukan daerah

asal ya pada fungsi akar diketahui

fungsi fx = ak k dari x ya Jadi kalau

pangkatnya di sini atau n-nya di sini

tidak ditulis maka artinya ini adalah ak

P 2 atau di akar ku dari X lakukan

langkah-langkah berikut ini ya yang

pertama Tentukan pasangan berurutan X FX

yang memenuhi fungsi fx = x Nah di sini

x-nya = -2 dan -1 Maka nanti y-nya atau

fx-nya itu menjadi tidak

terdefinisi jadi kita tahu kalau akar

kuadrat nah di dalamnya tanda akar itu

tidak boleh berupah bilangan negatif

nanti kalau adik-adik cek ya di

kalkulator misalkan ak -2 atau √ -4 ya

pokoknya akar bilangan negatif pasti

Nanti munculnya itu adalah e nah Apa itu

e yaitu error ya tidak terdefinisi baru

ketika x = 0 ya akar kuadr dari 0 itu

sama dengan 0 lalu √1 itu 1 √2 itu 1,4

√3 itu 1,7 ya ini saya ee bulatkan

supaya mudah Oke ini boleh kita teruskan

ini sebenarnya nanti √4 itu 2 √5 sekian

√6 sekian dan seterusnya dan seterusnya

Nah dari pasangan berurutan di atas

Gambarlah grafik fungsi f ya jadi

istilahnya di sini Kita sudah berhasil

menemukan beberapa titik Ya dek ya yang

nantinya akan dilalui oleh kurva fx = x

Nah di sini saya ee sudah gambar dengan

menggunakan aplikasi geogebra ya supaya

gambarnya bagus nanti adik-adik boleh

mencoba sendiri ee dengan cara manual

boleh nanti tinggal diplot ya Jadi ini

dimulai dari titik 0,0 karena kalau

x-nya negatif ini kan tidak terdefinisi

Nah maka dimulai dari titik 0,0 Lalu

1,1 kemudian

2,1,4

3,1,7 dan seterusnya nanti di sini ada 9

gitu ya Ee nanti titiknya kira-kira ada

di sini nah ini ya 9,3 karena akar kur

dari 9 = 3 kemudian nanti di hungkan

dengan garis Nah kira-kira nanti bentuk

kurvanya seperti ini Nah selanjutnya

dari gambar grafik Tentukan daerah asal

bagi fungsi fx ya Nah karena kalau x-nya

negatif tidak terdefinisi maka di sini

dapat kita simpulkan bahwa domain ya

atau daerah asal bagi fungsi fx itu

adalah himpunan X di mana X lebih dari

atau sama dengan 0 x elemen bilangan

riil nah nah ini adalah jawabannya

Oke kita lanjutkan lakukan langkah yang

sama untuk menentukan Daerah asal fungsi

akar GX hx dan BX ya kita mulai dengan y

= GX terlebih dahulu nah ini supaya

cepat ini sudah saya hitung dengan

menggunakan kalkulator ya dek ya untuk

masing-masing nilai x jadi ^ 3 dari -2

itu -1,25

√ p 3 dari -1 itu -1 dan seterusnya lalu

ini kalau kita Gambarkan ee kurvanya

seperti ini jadi ee walaupun x-nya

negatif nilai y-nya tetap

terdefinisi maka dari sini bisa kita

simpulkan bahwa domain bagi fungsi gx

itu adalah himpunan X di mana X elemen

bilangan RI ya Jadi boleh positif boleh

0 boleh negatif ya kita lanjutkan dengan

fungsi hx √ p 4 dari X ya Ini sudah saya

hitung juga nah ternyata ak p 4 dari

bilangan negatif tidak terdefinisi ya

kemudian ini nanti kalau kita Gambarkan

kurvanya nah bentuk kurvanya seperti ini

mirip ee kurvanya Mirip ya seperti ee

fungsi fx yaitu akar^ 2 atau ak^ dari X

maka dari itu di sini bisa kita

simpulkan bahwa Dom Min ya Bagi EE

fungsi

hx itu

adalah himpunan X di mana X leh dari

atau sama dengan 0 yang mana X itu

elemen bilangan riil Ya kurang 1 lagi

untuk fungsi PX ini sambil kita amati ee

polanya ya P 5 dari X nah ternyata ee ak

P 5 dari bilangan negatif itu

terdefinisi ya ya Maka nanti kalau kita

Gambarkan nah kurvanya kira-kira

bentuknya seperti ini Sehingga domain

bagi fungsi PX itu adalah himpunan X di

mana X elemen bilangan RI Ya baik Nah

dari fungsi f g h dan P dugaan apa yang

kalian peroleh Jelaskan ini terkait

dengan ee penentuan domain ya dek ya

dari fungsi akar nah sebenarnya jawaban

atas pertanyaan ini itu ada di ee

paragraf berikutnya ya langsung aja

secara umum daerah asal fungsi akar

adalah sebagai berikut Jadi jika

diketahui fungsi fx = ^ n dari gx dengan

n adalah bilangan bulat lebih dari 1

maka Daerah asal fungsi f dapat kita

peroleh sebagai berikut ya yang pertama

Jika n merupakan bilangan genap 2 4 6 8

10 12 dan seterusnya Daerah asal fungsi

akar F itu mencakup semua nilai pada

daerah asal GX yang tidak menyebabkan GX

kurang dari 0 jadi gampangannya begini

kalau n itu merupakan bilangan genap ya

habis dibagi 2 ini contohnya maka GX ini

tidak boleh sampai bernilai

negatif itu poinnya ya kemudian Jika

nilai n itu ganjil ya jika n itu ganjil

N = 1 ini rasanya 1 ini salah ketik ya

karena kan n itu harus bilangan bulat

lebih dari 1 berarti ketika n = 3 5 7 9

dan seterusnya Daerah asal fungsi akar F

itu mencakup semua nilai pada daerah

asal GX jadi GX itu boleh positif boleh

negatif boleh 0 gitu Ya baik daerah

hasil atau range fungsi selanjutnya

dapat kita lihat Pak pada contoh

5.16 menentukan daerah asal domain ya

dan daerah hasil range bagi fungsi akar

Tentukan daerah asal dan daerah hasil

dari fungsi fx =

x - 2 alternatif penyelesaian Daerah

asal fungsi akar F mencakup semua

bilangan riil yang tidak menyebabkan x -

2 kur dari 0 ya Ingat yang tadi jadi

kalau di sini n-nya itu sama dengan 2 ya

ini kalau tidak ditulis berarti ini kan

akar kuadrat ya akar Pang 2 maka fungsi

yang ada di dalamnya tanda akar ya X -2

ini tidak boleh kurang dari 0 tidak

boleh berupa bilangan negatif Nah untuk

menentukan Daerah asal fungsi f maka hal

pertama yang dilakukan adalah ini kita

melakukan sebaliknya ya yaitu menemukan

penyebab X -2 kur Dar 0 ya tinggal X -2

kur dari 0 maka nilai x yang memenuhi

itu adalah x kur dari 2 Jadi -2 itu kita

pindah ruas ke kanan gitu Nah karena

yang menyebabkan X -2 - Dar 0 adalah x -

Dar 2 maka Daerah asal fungsi rasional F

adalah himpunan semua bilangan riil yang

lebih dari 2 atau sama dengan 2 atau

dapat ditulis DF adalah himpunan X di

mana X Le dari atau sama 2 x elemen

bilangan riil nah kemudian kalau daerah

hasil e bagi fungsi f atau RF ya adalah

himpunan y Di mana y itu lebih dari atau

sama dengan 0 y elemen bilangan Ril nah

ini penting ya Yang Pertama jadi untuk

menentukan domain terlebih dahulu ya

kita bisa langsung ee menuliskan

syaratnya seperti ini x -2 itu harus

lebih dari atau sama dengan 0 Nah kayak

gini juga boleh ya Maka nanti X leh dari

atau sama dengan 2 Nah kan sama ya ini

terkait dengan mencari domain Kemudian

untuk mencari range ya daerah hasil bagi

fungsi x - 2 FX = √x - 2 nah ini sering

salah ya

Jadi kalau misalkan ya kita pakai angka

aja √4 Nah √4 itu berapa √4 itu bukan 2

eh bukan plus-2 ya Jadi ini bukan

plus-2 nah ini

salah ya yang benar √4 itu sama dengan 2

kalau √9 itu sama dengan 3 ya bukan +-3

√1 itu sama dengan 4 bukan plus-4 dan

seterusnya nah kecuali kalau begini x^ =

4 Tentukan nilai x Nah maka di di sini X

itu sama dengan + -2 Jadi yang memenuhi

X itu bisa 2 bisa -2 Tetapi kalau yang

ditanyakan itu adalah berapa √4 ya akar

kuadrat dari 4 itu adalah 2 bukan -2 ya

hanya 2 saja nah sehingga di sini dapat

kita simpulkan bahwa daerah hasil atau

range bagi fungsi fx = √x - 2 itu adalah

himpunan Y di mana y itu lebih dari atau

sama dengan 0 pokoknya berupa bilangan

positif nah tidak mungkin berupa

bilangan negatif gitu Ya baik kita

lanjutkan lagi di sini ada soal Mari

mencoba Tentukan daerah asal dan daerah

hasil bagi fungsi gx = ak 4/x - 2 ya Oke

ini adalah fungsi

akar yang pertama kita akan mencari

domain terlebih dahulu ya Nah untuk

mencari domain karena kebetulan di sini

fungsi yang terletak di dalamnya tanda

akar itu e merupakan bentuk pecahan ya

Yang mana kalau pada bentuk pecahan

penyebut ini tidak boleh

ee bernilai sama dengan 0 maka kita

tulis langsung x - 2 tidak boleh sama

dengan 0 sehingga X tidak boleh sama

dengan 2 ya -2 pindah ke kanan jadinya +

2 lalu ini kita buat eh garis

bilangannya ya X tidak ama 2 berarti di

sini lubang nah ini 2 maka nanti nilai x

yang memenuhi itu adalah x > dari 2 dan

X kur dari 2 ini yang memenuhi

Oke selanjutnya

4/x - 2 ya ingat kalau di sini n-nya itu

merupakan bilangan genap ya ini kan n =

2 bilangan genap berarti fungsi yang

terletak di dalamnya tanda akar ini

harus lebih dari atau sama dengan 0 ya

tidak boleh kurang dari 0 nah ini harus

lebih dari atau sama dengan 0 Nah

tinggal kita selesaikan ya bentuk

pertidaksamaan seperti ini ini kan

gampang berarti kan pembuat ol0nya

adalah x = 2 jadi X -2 ini sama ya

sebenarnya ya tapi kita cari pembuat

olnya nah berhatikan X -2 = 0 maka x = 2

ya lalu kita buat garis bilangannya juga

ya berarti di sini kan lebih dari atau

sama dengan maka ini bulatannya utuh nah

ini diarsir ya ini dua kemudian kita

lakukan uji titik seperti biasa jadi

yang paling gampang itu adalah ketika x

= e 0 ya dek ya kita masukkan ke sini

jadi 4 / 0 -2 berarti 4 / -2 itu

hasilnya adalah -2 maka di sebelah

kirinya 2 ini tandanya adalah negatif ya

logikanya di sebelah kanannya du ini

positif Nah ini kan yang kita cari

adalah yang positif lebih dari atau sama

dengan 0 berarti nanti yang memenuhi itu

yang ke kanan nah kemudian kita iris ya

kalau kita iris di sini dua ini dua

satunya penuh satunya lubang maka yang

menang itu adalah yang lubang ya

Sehingga langsung aja ini dapat kita

simpulkan bahwa domain bagi fungsi fx eh

domain bagi fungsi gx ya dek ya domain

bagi fungsi gx itu kan irisan ee kedua

garis bilangan ini berarti di sini bisa

kita Tuliskan himpunan X ya Di mana X Le

dari 2 ya Jadi yang menang itu adalah

yang lbang nah X > dari 2 dengan x

elemen bilangan riil ini jawabannya ya

selanjutnya untuk Rin ya Nah untuk range

ini ya langsung saja ini range bagi

fungsi gx itu adalah himpunan y Di mana

y lebih dari atau sama dengan 0 lalu y

elemen bilangan RI gitu ya karena akar

hasilnya akar kuadrat itu tidak mungkin

e berupa bilangan negatif pasti berupa

bilangan positif sama seperti yang

barusan kita singgung ya di slide

sebelumnya Oke kita lanjutkan lagi Nah

untuk menggambar grafik fungsi akar

dapat kita lihat pada contoh

5.17 berikut menggambar grafik fungsi

akar Gambarlah grafik fungsi akar yaitu

fx =

x - 3 alternatif penyelesaian grafik

fungsi fx = x - 3 dapat kita gambar

dengan melakukan langkah-langkah sebagai

berikut ya Yang pertama adalah

menentukan daerah asal atau domain bagi

fungsi f caranya sama seperti tadi

Daerah asal fungsi akar F itu mencakup

semua bilangan Riel yang tidak

menyebabkan X -3 kur dari 0 atau bisa

langsung kita tulis X -3 ini harus lebih

dari atau sama dengan 0 ini domainnya

Nah untuk menentukan Daerah asal fungsi

f hal pertama dilakukan adalah mencari

nilai x yang menyebabkan X -3 kur dari 0

Oke kita ikuti saja maka nanti x - 3 kur

0 lalu X itu kurang dari 3 jadi -3

pindah ke kanan jadinya +3 Nah karena

penyebab X -3 kur dari 0 adalah x kur

dari 3 ya jadi kan tidak boleh x - 3 kur

dari 0 Lah ternyata yang menyebabkan x -

3 kur dari 0 itu adalah x kur dari 3

maka Daerah asal fungsi rasional F

adalah himpunan semua bilangan Riel yang

lebih dari atau sama dengan 3 nah

sehingga nanti dapat ditulis DF ya

domain bagi fungsi f itu adalah himpunan

X di mana X Le dari atau sama dengan 3

dan x adalah elemen bilangan riil Oke

kemudian Daerah asal fungsi f dapat

memudahkan kita untuk menentukan titik

bantu ya yang merupakan pasangan

berurutan X FX yang memenuhi FX = √x - 3

jadi perhatikan karena di sini nilai x

ya yang memenuhi itu harus lebih dari

atau sama dengan 3 maka X yang pertama

itu ada adalah nah kemudian 4 5 6 7 8 9

dan seterusnya dan seterusnya jadi

istilahnya ini hanya mempermudah saja ya

mempermudah kita saja untuk menentukan

nilai x awalnya itu berapa yaitu dengan

cara mencari domainnya terlebih dahulu

gitu ya Oke ini seperti biasa ee tinggal

kita masukkan x-nya = 3 ke sini 4 ke

sini 5 ke sini kemudian dihitung nah

hasilnya kira-kira seperti ini ya

nah Gambarlah ini selanjutnya ya

Gambarlah grafik fungsi fx = akx - 3

berdasarkan nilai-nilai yang tadi sudah

ada di tabel yang sudah kita hitung

kemudian kita masukkan ke dalam tabel

Nah kira-kira nanti bentuk kurvanya

seperti ini Oke kita lanjutkan soal Mari

mencoba Gambarlah grafik fungsi ee

Gambarlah grafik fungsi-fungsi akar

berikut ya Ee ini caranya sama berarti

Ee Kita akan tentukan dulu domain bagi

masing-masing fungsi ya jadi domain bagi

FSI GX ini kan akx -5 berarti nanti X di

sini itu tidak boleh kurang dari 0 ya

yang boleh yang diizinkan itu adalah x

Le dari atau sama dengan 0 nah

sebenarnya sudah ketemu ini jadi domain

bagi fungi GX itu

adalah himpunan X di mana nah X harus

lebih dari atau sama dengan 0 Nah maka

nanti untuk menentukan pasangan

berurutan x y ya kita mulai dari x = 0

nah ketika x = 0 ya nanti y-nya dihitung

kira-kira berapa kan gitu ya coba aja ya

kalau √ 0 itu kan 0 0 - 5 itu -5 kalau

misalkan x = 1 berarti √1 = 1 1 - 5 =

4 dan seterusnya nah sehingga nanti ee

kalau kita gambar bentuk kurvanya itu

semacam ini ya jadi ketika x-nya 0 maka

y-nya -5 kalau x-nya 1 nanti y-nya -4

dan seterusnya semakin banyak titik yang

kita gambar itu semakin memudahkan kita

ya Kemudian untuk soal nomor 2 nah ini

hx = √ p 3 e dari X -1 ya caranya sama

berarti kita tentukan dulu e domainnya

nah berhubung di sini nnya itu merupakan

bilangan ganjil Yak ya berarti X -1 ini

boleh bilangan

ee negatif boleh 0 boleh bilangan

positif ya artinya nanti akan dipenuhi

oleh semua nilai x kan gitu berarti

domainnya itu adalah ya bagi fungsi hx

itu adalah himpunan X di mana X elemen

bilangan riil Nah nanti Ee Kita boleh

menggunakan nilai x berapapun ya jadi

misalkan X = -4 nah X = -4 berarti y-nya

nanti dihitung ya dek ya berarti di sini

y = √^ 3 dari -4

-1 = √^ 3 dari -5 nah Nah nanti dihitung

dengan menggunakan kalkulator dan

seterusnya ya semakin banyak titik yang

kita dapatkan maka semakin mempermudah

kita dalam menggambar kurvanya nah ini

supaya cepat ya ee Ini sudah saya

Gambarkan kurvanya dengan menggunakan

aplikasi geogebra ya bentuk kurvanya

kira-kira seperti ini jadi kalau x-nya

sama dengan 1 ya x-nya sama dengan 1

ternyata berpotongan dengan ee sumbu x

ya ini kan koordinatnya adal

1,0 Nah kita coba aja √ P3 dari 1 -1

berarti kan P3 dari 0 ya ama dengan 0

Tuh kan cocok ya kan kemudian di sini

kita cari titik yang gampang-gampang aja

ya kalau x-nya = 2 nah 2 - 1 itu 1 √ p 3

dari 1 ya = 1 ya Kalau x-nya ama dengan

0 0 -1 = -1 √^ 3 dari -1 itu sama dengan

-1 karena -1 * -1 * -1 itu sama dengan

-1 gitu ya Oke kita lanjutkan lagi nah

penerapan fungsi akar melalui kegiatan

eksplorasi ini kita diajak untuk

memahami penerapan fungsi akar pada

kecepatan gelombang tsunami perhatikan

permasalahan berikut ini kecepatan dalam

satuan meter perss ya dari gelombang

tsunami yang melintas di lautan

merupakan akar dari hasil kali antara

percepatan gravitasi bumi ya dan

kedalaman air laut dalam satuan meter

percepatan gravitasi bumi 9,8 m/s k yang

a buatlah fungsi untuk memodelkan

kecepatan tsunami nah kecepatan

gelombang tsunami kita misalkan sebagai

V berarti V itu akan sama dengan

√9,8 ya dikalikan dengan kedalaman ee

air laut ya kita misalkan saja X nah

Berarti V = √ 9,8 * X atau di sini bisa

kita Tuliskan V sebagai fungsi dari X ya

VX =

√9,8 dikalikan dengan x kemudian yang B

Tentukan daerah asal dan daerah hasil

dari fungsi kecepatan tsunami berarti

yang pertama

ee daerah asalnya terlebih dahulu ya

daerah asal bagi fungsi VX ya karena di

sini adalah akar Ku √^ 2 ya dek ya maka

di dalamnya tanda akar ya ini kan kalau

2 n-nya ama 2 itu kan bilangan genap ya

berarti fungsi yang terletak di dalamnya

tanda akar ini tidak boleh bertanda

negatif ini harus positif nah sehingga

x-nya di sini juga tidak boleh negatif

ya kalau 9,8 kan positif positif kali

negatif adalah bilangan negatif Nah itu

enggak boleh nah artinya X di sini itu

paling tidak harus bernilai sama dengan

0 atau lebih dari 0 Nah itu adalah

domainnya ya jadi domain bagi fungsi VX

adalah himpunan X di mana X lebih dari

atau sama 0 x elemen bilangan riil kalau

E daerah hasilnya ini jelas ya range

sebagai fungsi VX ya range sebagai

fungsi BX itu adalah seluruh bilangan ee

bulat eh seluruh bilangan positif ya

tidak mungkin Hasil dari akar kuadrat

itu merupakan bilangan negatif berarti

range sebagai fungsi VX itu adalah

himpunan y Di mana y pasti lebih dari

atau minimal sama dengan 0 kemudian y

elemen bilangan riil Ya gampang ya

kemudian yang d eh yang c dulu ya

Gambarlah grafik fungsi tersebut baik

ee Ini sudah saya coba Gambarkan ya

dengan menggunakan aplikasi geogebra

hasilnya seperti ini Jadi ini sengaja

saya menggunakan ee tabel yang ada di

awal tadi tapi ini sebenarnya gak perlu

dilakukan ya karena kita tahu bahwa ee

domain bagi fungsi VX itu kan

ee himpunan X di mana X itu harus lebih

dari atau ama dengan 0 Berarti mulai

dari sini saja Nah nanti gak usah

ditulis yang ini ya sehingga nanti kalau

ini digambarkan kurvanya bentuknya

seperti ini

Oke kita lanjutkan lagi

amati grafik fungsi yang kalian gambar

kemudian

interpretasikan hasil pengamatan kalian

nah ini ya ini kurvanya seperti ini

kemudian ini sumbu mendatar ya ini

adalah x ya kedalaman air laut ini

satuannya meter kemudian ini adalah

kecepatan gelombang tsunami satuannya

adalah meter/s Nah dari sini kita bisa

simpulkan ya semakin dalam kedalaman air

laut maka semakin tinggi kecepatan

gelombang tsunami Jadi maksudnya semakin

ke kanan ya kalau semakin ke kanan itu

artinya kan kedalaman air laut semakin

bertambah 1 M 2 M 3 m 4 m dan seterusnya

nah terlihat di sini dari kurva gitu ya

semakin ke kanan semakin dalam

ee apa namanya semakin dalam air laut

maka gelombang tsunami yang dihasilkan

itu akan semakin tinggi kecepatannya

gitu ini semakin naik ke atas

ya kemudian tentukan kecepatan tsunami

jika kedalaman laut adalah ee 3.000 m

berarti 3.000 m di sini itu adalah nilai

x-nya nah ini nilai x-nya ya nanti kalau

kita hitung ya ya dengan menggunakan

rumus yang tadi V = √9,8 * X tinggal

kita ganti di sini x-nya = 3.000 ya Maka

nanti hasil akhirnya itu akan sama

dengan

171,5 m/s ya ini saya hitung dengan

menggunakan

kalkulator kemudian nah di video

selanjutnya nanti kita akan bahas soal

latihan C ya Ee untuk video materinya

kita cukupkan dulu sampai di sini semoga

bermanfaat jika ada pertanyaan silakan

boleh tulis di kolom komentar terima

kasih